УТВЕРЖДЕНО
протокол заседания
районной творческой группы
учителей математики
03.02.2021 №1
Учебная программа
занятий ресурсного центра
«ГОТОВИМСЯ К ОЛИМПИАДАМ ПО МАТЕМАТИКЕ»
для учащихся IX классов
Пояснительная записка
Программа занятий ресурсного центра содержит вопросы программы основной школы, однако глубина изучения предложенных тем призвана дать возможность ученику выйти на более высокий уровень математического развития, чем тот, которого он может достигнуть на уроках. В целях формирования интереса к математике содержание занятий может включать оригинальный материал, существенно углубляющий содержание школьной программы. Большое внимание уделяется углублению школьной программы по геометрии. Одна из актуальных проблем школьного курса математики – формирование интереса к изучению геометрии. Ведь математика - это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты. Порой бывает так, что, изучив геометрию, ученик так и не приобретает интереса к ней. Поскольку красивых задач и фактов по геометрии очень много, то очевидна необходимость проведения ресурсного центра. Это поможет вызвать у учащихся интерес к изучению геометрии.
В алгебре внимание акцентируется на методах решения уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств (метод замены, графический, функциональный, использование классических неравенств, применение производной и т.д.).
Занятия ресурсного центра помогают решать следующие задачи:
-реализация учеником интереса к выбранному предмету;
-уточнение готовности и способности осваивать математику на данном уровне;
-создание условий для подготовки к вступительным испытаниям по математике в ВУЗы.
Занятия также рассчитаны на увлекающихся математикой школьников, желающих расширить свои знания по математике, для тех, кто готовится к выступлениям на математических соревнованиях различного уровня. Учащихся знакомят с рядом новых математических фактов, а также классических теорем, играющих значительную роль в олимпиадной математике; раскрывают школьникам красоту и разнообразие математических идей и методов, с которыми они не сталкивались на уроках, помогают по-новому взглянуть на многие стандартные факты и задачи школьного курса математики.
Рекомендуемые формы и методы проведения занятий
Одним из важнейших требований к методам проведения занятий является активизация мышления учащихся, развитие самостоятельности в различных формах её проявления.
Очень важно, чтобы занятия ресурсного центра были интересными, увлекательными. Занимательность поможет учащимся освоить содержание изучаемого материала, идеи и методы математической науки, логику и приёмы творческой деятельности. В этом отношении цель учителя – добиться понимания учащимися того, что они подготовлены к работе над сложными проблемами, но для этого необходима заинтересованность предметом, трудолюбие, владение навыками организации своей работы.
На занятиях могут использоваться разнообразные формы проведения занятий: небольшие лекции (изложение узловых теоретических вопросов учителем), семинары, дискуссии, решение задач, рефераты и доклады учащихся и т. д. При этом самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение.
Одной из возможных форм проведения данных занятий является разделение всего изучаемого материала на блоки по темам. Каждый блок изучается циклом: лекция ® практические, семинарские занятия ® самостоятельное выполнение заданий, обсуждение ® подведение итогов.
Лекция предназначена для подачи теоретического материала, необходимого для самостоятельного решения практических заданий. Слушая лекцию, учащиеся будут размышлять над поставленными задачами в свете этой лекции, будет развиваться механизм подсознательного мышления.
Во время лекции непременно должна быть обратная связь: необходимо всячески поощрять учащихся, задающих вопросы, участвующих в размышлении над обсуждаемым вопросом.
Семинар носит характер беседы, диалога, обсуждения в группе вопросов темы. Семинар можно использовать в тех случаях, когда учащиеся не смогут эффективно разобраться в теме самостоятельно, но их следует лишь слегка подталкивать или подводить к маленькому открытию.
На практических занятиях проводится целенаправленная работа по выработке у учащихся умений и навыков решения основных типов задач, формированию опыта творческой деятельности. На этих занятиях следует как можно чаще создавать проблемную ситуацию и предоставлять возможность самостоятельно ее разрешить.
Самостоятельное выполнение заданий дома и в школе призвано решать главную задачу занятий ресурсного центра – развитие математической интуиции учащихся.
При подведении итогов обсуждаются решённые задачи и направления возможного дальнейшего самостоятельного исследования по вопросам данного блока, возможные связи между блоками, практическая ценность полученных знаний и т. п.
Программа факультативных занятий
«Готовимся к олимпиадам по математике»
9 класс
Цели:
-углубление знаний учащихся через изучение дополнительных тем школьного курса математики.
-развитие логического мышления.
-развитие творческих способностей и исследовательских умений.
-воспитание настойчивости, инициативы , самостоятельности.
Реализации целей:
-изучение дополнительных тем школьного курса математики;
-обучение методам решения нестандартных задач.
-различные формы проведения занятий (лекции, семинары, мини-олимпиады).
Количество часов: 64часов.
Содержание
Тема 1 Элементарные функции и графики (2 часа)
1 Элементарные функции. Декартова прямоугольная система координат. Понятие функции. Область определения, множество значений, график. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Наименьший положительный период. Монотонные функции. Локальный экстремум. Преобразование графиков. Сдвиг, растяжение, зеркальная симметрия, центральная симметрия. Линейная функция, прямая. Уравнение прямой в различных формах. Угловой коэффициент прямой. Условия параллельности двух прямых на плоскости. Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости. Квадратный трехчлен, парабола. Выделение полного квадрата. Промежуток возрастания, промежуток убывания, точка экстремума. Множество значений квадратного трехчлена. Дробно-линейная функция, гипербола. Асимптоты и оси симметрии гиперболы.
2 Элементарные функции с модулем. Преобразование модуля, примененное к аргументу. Преобразование модуля, примененное к функции. Композиция линейной функции и модуля. Композиция квадратного трехчлена и модуля. Композиция дробно-линейной функции и модуля.
3 Точки, прямые, многоугольники на плоскости. Множества на плоскости. Параллельный перенос, растяжение. Зеркальная и центральная симметрия. Преобразование подобия. Свойства симметрии фигур, описываемых уравнениями и неравенствами с одним и несколькими модулями. Расстояние от точки до начала координат. Расстояние между двумя точками. Расстояние от прямой до начала координат. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Фигуры на плоскости, определяемые уравнениями и неравенствами, включающими |x| и |y| в различных комбинациях.
4 Окружности на плоскости. Уравнение окружности. Уравнение окружности со смещенным центром. Уравнение окружности с модулями.
Тема 2 Алгебраические уравнения (2 часа)
5 Линейные и квадратные уравнения. Линейные уравнения без параметра и с параметром. Квадратные уравнения. Условие разрешимости, условие единственного решения, условие неразрешимости. Различные формулы для корней квадратного уравнения. Теоремы Виета. Вычисление коэффициентов квадратного уравнения с заданными корнями. Вычисление симметрических функций от корней через коэффициенты. Квадратные уравнения с параметром. Уравнения, приводящиеся к квадратным с помощью замены переменной. Методы решения дробно-рациональных уравнений.
6 Алгебраические уравнения старших степеней. Метод понижения порядка алгебраических уравнений. Биквадратные уравнения. Симметрические уравнения. Методы разложения на множители для уравнений старших степеней. Уравнения, содержащие знак абсолютной величины.
Тема 3 Алгебраические неравенства (2 часа)
7 Свойства алгебраических неравенств. Числовые неравенства. Равносильные преобразования неравенств. Линейные неравенства. Квадратные неравенства. Дробно-линейные неравенства. Неравенства, содержащие модуль и несколько модулей. Тождественные неравенства. Среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел. Свойства суммы двух взаимно обратных чисел.
8 Метод интервалов. Метод интервалов для многочлена. Метод интервалов для рациональной функции. Метод интервалов для иррациональной функции.
Тема 4 Системы алгебраических уравнений (2 часа)
9 Системы линейных уравнений. Понятие равносильных систем, понятие следствия. Системы линейных алгебраических уравнений, имеющие единственное решение. Графический метод. Метод исключения неизвестных. Метод алгебраических преобразований. Вычисление линейной функции от решения линейной системы методом алгебраических преобразований. Простые текстовые задачи, приводящие к линейным системам. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, не имеющие решений или имеющие бесконечное множество решений. Геометрическая интерпретация. Линейные системы с параметром. Условие единственного решения, отсутствия решений, бесконечного числа решений. Системы, приводящиеся к линейным с помощью замены переменной.
10 Системы уравнений общего вида. Виетовские системы. Метод решения, условие разрешимости. Системы, содержащие однородные уравнения. Симметрические системы. Метод замены переменных для решения систем.
Тема 5 Алгебраические выражения (2 часа)
11 Формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения и деления. Преобразование выражений с модулями. Разложение на множители числовых выражений. Разложение на множители выражений с параметрами. Деление многочленов с остатком. Преобразование дробно-рациональных выражений. Алгебраические выражения.
12 Иррациональные алгебраические выражения. Извлечение квадратного корня из полного квадрата числового выражения и выражения с параметром. Сложные радикалы. Избавление от иррациональности в знаменателе числового выражения и выражения с параметром. Сравнение иррациональных выражений. Числовые оценки иррациональных выражений без параметров.
Тема 6 Иррациональные уравнения и неравенства (2 часа)
13 Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств. Функция , график. Область определения, множество значений. Корни третьей, четвертой и старших степеней. Графический метод решения иррациональных уравнений и неравенств. Метод замены переменной. Использование одной и двух новых переменных. Использование монотонности и метод подбора при решении иррациональных уравнений и неравенств.
14 Метод равносильных преобразований. Уравнения и неравенства с полным квадратом под знаком квадратного корня. Метод разложения на множители. Универсальный метод решения иррациональных неравенств. Иррациональные уравнения и неравенства. Метод эквивалентных преобразований для иррациональных уравнений и неравенств. Понятие эквивалентного преобразования. Основные типы иррациональных уравнений и неравенств. Метод неэквивалентных преобразований. Понятие следствия. Понятие проверки решения. Эффективные методы проверки.
Тема 7 Натуральные, целые, действительные числа (2 часа)
15 Целые, рациональные, действительные числа. Деление натуральных чисел с остатком и без остатка. Простые числа. Разложение натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Десятичная запись натуральных и целых чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 8, 9. Признаки делимости на составные числа 6, 10, 12, 18, 36, 45, 72 и т.д. Иррациональные числа. Иррациональность и некоторых других алгебраических констант. Множество действительных чисел, числовая прямая. Сравнение действительных чисел. Модуль действительного числа. Арифметические действия над обыкновенными и десятичными дробями. Приведение периодической десятичной дроби к рациональному виду. Представление иррационального числа в виде
периодической десятичной дроби.
16 Уравнения в целых числах. Линейные уравнения в целых числах (диофантовы уравнения). Системы линейных уравнений в целых числах. Нелинейные уравнения в целых числах. Системы нелинейных уравнений в целых числах. Условия целочисленности рациональной функции.
17 Текстовые задачи с целочисленными решениями. Понятие объединения и пересечения множеств. Подсчет количества элементов множества, обладающих одновременно двумя свойствами. Подсчет количества элементов множества, обладающих одним из двух свойств.
Тема 8 Текстовые задачи (2 часа)
18 Понятие процентного отношения. Понятие процентного отношения. Двукратное применение процентного отношения. Изменение процентного содержания одной из компонент в двухкомпонентной системе. Изменение процентного содержания одной из компонент в многокомпонентной системе.
19 Понятие сложных процентов. Основные закономерности сложных процентов.Математические аспекты процесса прироста капитала в банке.
20 Задачи на движение. Графическое изображение условий задачи. Элементарные задачи на движение одного объекта. Движение двух объектов с разными скоростями. Движение вниз и вверх по реке. Движение нескольких объектов по реке. Движение по замкнутой траектории (окружности).
21 Понятие производительности труда. Работа и производительность труда одного участника. Совместная работа и производительность труда нескольких участников. Повышение и понижение производительности труда и связанное с этим изменение времени выполнения.
22 Текстовые задачи экономической тематики. Понятия выручки, расхода, дохода, прибыли. Текстовые задачи на вычисление экстремальных значений экономического содержания. Задачи, требующие выработки оптимальной стратегии.
23 Понятие спроса и предложения. Задачи оптимизации при заданном соотношении спроса и предложения.
24 Смеси и сплавы. Вычисление концентрации смеси двух растворов. Вычисление концентрации смеси трех растворов. Максимальные и минимальные значения концентрации при смешивании. Вычисление площади по радиусу описанного круга.
Тема 9 Планиметрические задачи, треугольники (2 часа)
25 Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Тригонометрические функции. Равнобедренный треугольник. Вычисление радиусов вписанного и описанного круга.
26 Биссектриса треугольника. Основные свойства биссектрисы. Вычисление длины биссектрисы.
27 Медиана и высота треугольника. Основные свойства медианы. Вычисление длины медианы. Основные свойства высоты. Вычисление длины высоты. Вписанная и описанная окружности.
28 Площадь треугольника. Вычисление площади по двум сторонам и углу между ними. Вычисление площади по стороне и двум прилежащим углам. Вычисление площади по трем сторонам. Формула Герона. Вычисление площади по радиусу вписанного круга.
Тема 10 Графические методы решения уравнений и систем.
29 Графические методы решения уравнений и неравенств. Многоугольники. Пересечение прямой и параболы. Взаимное расположение ломаной и параболы. Взаимное расположение двух парабол.
30 Графические методы решения уравнений и неравенств. Окружности. Графическое решение уравнений и систем уравнений, включающих уравнения окружностей, прямых, квадратов и других простейших фигур. Пересечение прямой и окружности. Взаимное расположение ломаной линии и окружности. Взаимное расположение окружности и параболы. Уравнение окружности с модулями.
Тема 11 Планиметрические окружности (2 часа)
31 Окружности. Измерение углов и дуг, связанных с окружностью. Вписанные и центральные углы. Свойство пересекающихся хорд в окружности. Свойство касательной и секущей. Метрические соотношения в круге.
32 Многоугольники. Параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат. Трапеция. Метрические соотношения в четырехугольниках общего вида. Свойства четырехугольника, в который вписана окружность. Свойства четырехугольника, вокруг которого можно описать окружность.
Тема 12 Теория вероятностей и комбинаторика (2 часа)
33 Теория вероятностей. Случайные события. Среднее значение, медиана, отклонения, дисперсия. Математическое описание случайных величин,
вероятность. Правило вычисления вероятности. Основы теории множеств: объединение, пересечение множеств, диаграммы Эйлера. Применение теории множеств для противоположного события. Объединение и пересечение событий. Формула сложения вероятностей для двух событий. Правило умножения вероятностей для независимых событий.
34 Комбинаторика. Правило умножения и правило сложения в комбинаторике. Формулы для числа перестановок и сочетаний в задачах комбинаторики. Основы теории множеств в комбинаторике. Формула включений-исключений. Подсчёт числа элементов в множестве путём разбиения его на подмножества. Рекуррентные соотношения. Составление рекуррентных соотношений в комбинаторных задачах. Решение линейных рекуррентных соотношений второго порядка.
Тема 13 Диофантовые уравнения (2 часа)
Тема 14 Функциональные уравнения (2 часа)
Тема 15 Метод координат (2 часа)
Тема 16 Целая и дробная часть действительного числа (2 часа)
ОЖИДАЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
По итогам обучения у учащихся будут сформированы представления:
- о предварительной оценке ситуации и анализе ответа при решении задач;
- о решении уравнений в целых числах;
- о методе математической индукции и аналогии;
- о признаках делимости и их применении;
- о методе выделения полного квадрата;
- об оценке и нахождении целой части корней;
- о приложениях математики на практике.
Учащиеся овладеют следующими способами деятельности:
- выдвигать гипотезы и доказывать их;
- выполнять прикидку ответа;
- использовать графические представления при решении уравнений и неравенств;
- представлять образ модели геометрической фигуры;
- предвидеть верные результаты, выбирать пути их получения;
- замечать явно ошибочные выводы.
Личностные результаты учебной деятельности:
- развитие математической интуиции учащихся;
- развитие интереса и познавательных способностей учащихся;
- формирование опыта творческой деятельности;
- расширение кругозора учащихся.
Рекомендуемая литература
- Арефьева И.Г., Пирютко О.Н. Школа юных математиков. Алгебра. 8 класс. Аверсэв , 2017
- 2600 тестов и проверочных заданий по математике / П.И.Алтынов, Л.И.Звавич, А.И.Медяник. М.: Дрофа, 2000.
- 3000 конкурсных задач по математике, М.: Айрис: Рольф, 1997.
- Азевич А.И.. Рубежные тестовые работы по математике для 5-11 классов / А.И.Азевич. М.: Школьная пресса, 2002.
- Барвенов, С.А. Математика: тренинг решения задач, используемых на централизованном тестировании. С.А.Барвенов, Т.П.Бахтина – 3-е изд. – минск: ТетраСистемс, 2010
- Вавилов, В. В. Задачи по математике: алгебра / В. В. Вавилов, И. И. Мельников, С. Н. Олехник, П. И. Пасиченко. - Москва: Наука, 1987.
- Галицкий, М.Л. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов/ М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. М.: Просвещение, 1992.
- ГИА. Математика. 9 класс. Практикум по выполнению типовых тестовых заданий. Реальные тесты. Лаппо Л.Д., Попов М.А.
- Гольдич, В.А. 3000 задач по алгебре для 5-9 классов / В.А.Гольдич, С.Е.Злотин. Санкт-Петербург: Издательский Дом «Литера», 2001.
- Арефьева И.Г. «Повторяем математику»
- Математика для поступающих в колледжи и техникумы / Т.Ф.Кучмель, И.Н.Соболь, В.Н.Теслюк. Минск : Аверсэв, 2005.
- Математика. Пособие-репетитор / И.Г.Арефьева,Минск.: Аверсэв, 2009
- Мерзляк, А. Г. Алгебраический тренажер / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. - Киев: А. С. К., 1997.
- Райхмист Р.Б. Задачник по математике / Р.Б.Райхмист. М.: Московский лицей, 2004.
- Тесты по математике: 5-11 классы/ М.: Олимп:
