Материалы по самоподготовке по математике

1. В прямоугольный треугольник вписан круг. Отношение площади круга к площади треугольника равно    <m:omath><m:f><m:fpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:fpr><m:num><m:r>π</m:r></m:num><m:den><m:r>3+2</m:r><m:rad><m:radpr><m:deghide m:val="on"><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:deghide></m:radpr><m:deg></m:deg><m:e><m:r>2</m:r></m:e></m:rad></m:den></m:f></m:omath>.  Найдите углы треугольника.
2. Вычислите значение выражения   <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r> :</m:r><m:r>( </m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>4</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+1)</m:r></m:omath>,если известно, что <m:omath><m:r>x</m:r><m:r>:(</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+ </m:r><m:r>x</m:r><m:r>+ 1) =</m:r><m:r>a</m:r><m:r>.</m:r></m:omath>
3. Никакие два из действительных чисел <m:omath><m:r>a</m:r><m:r>, </m:r><m:r>b</m:r><m:r>, </m:r><m:r>c</m:r><m:r>, </m:r><m:r>d</m:r></m:omath> не равны друг другу. Известно, что <m:omath><m:r>a</m:r><m:r> и </m:r><m:r>b</m:r></m:omath> являются корнями уравнения <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>-</m:r><m:r>2</m:r><m:r>cx</m:r><m:r>-</m:r><m:r>5</m:r><m:r>d</m:r><m:r>=0</m:r></m:omath>, а <m:omath><m:r>c</m:r><m:r> и </m:r><m:r>d</m:r></m:omath> – корнями уравнения <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>-</m:r><m:r>2</m:r><m:r>ax</m:r><m:r>-</m:r><m:r>5</m:r><m:r>b</m:r><m:r>=0</m:r></m:omath>. Найдите сумму <m:omath><m:r>a</m:r><m:r>+</m:r><m:r>b</m:r><m:r>+</m:r><m:r>c</m:r><m:r>+</m:r><m:r>d</m:r></m:omath>.
4. На координатной плоскости расположен прямоугольный треугольник <m:omath><m:r>ABC</m:r></m:omath> с прямым углом при вершине <m:omath><m:r>C</m:r></m:omath>, все вершины которого принадлежат параболе <m:omath><m:r>y</m:r><m:r>=</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup></m:omath>. При этом сторона <m:omath><m:r>AB</m:r></m:omath> параллельна оси абсцисс, а вершина <m:omath><m:r>C</m:r></m:omath> лежит ниже прямой <m:omath><m:r>AB</m:r></m:omath>. Высота <m:omath><m:r>CH</m:r></m:omath> разбивает треугольник <m:omath><m:r>ABC</m:r></m:omath> на два меньших треугольника. Найдите произведение площадей этих треугольников.
5. О действительном числе <m:omath><m:r>x</m:r></m:omath> высказаны следующие четыре утверждения:

1. <m:omath><m:r>x</m:r></m:omath> – целое число; 2) <m:omath><m:r>x</m:r><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>-</m:r><m:r>1</m:r></m:sup></m:ssup></m:omath> – целое число; 3) <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>-</m:r><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup></m:omath> – целое число;

4) <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>-</m:r><m:r>4</m:r><m:r>x</m:r></m:omath> – целое число. Известно, что из этих утверждений верны только три. Найдите все такие числа <m:omath><m:r>x</m:r></m:omath>.

1. В прямоугольном треугольнике <m:omath><m:r>ABC</m:r></m:omath> из вершины прямого угла <m:omath><m:r>C</m:r></m:omath> проведена высота <m:omath><m:r>CH</m:r></m:omath>. Пусть точки <m:omath><m:r>K</m:r><m:r>, </m:r><m:r>N</m:r></m:omath> – основания биссектрис <m:omath><m:r>AK</m:r><m:r>, </m:r><m:r>CN</m:r></m:omath> углов <m:omath><m:r>CAH</m:r><m:r>, </m:r><m:r>BCH</m:r></m:omath> образовавшихся треугольников <m:omath><m:r>CAH</m:r><m:r>, </m:r><m:r>BCH</m:r></m:omath> соответственно. Найдите длину отрезка <m:omath><m:r>KN</m:r></m:omath>, если <m:omath><m:r>CK</m:r><m:r>=9</m:r></m:omath>см.
2. При каких значения <m:omath><m:r>x</m:r><m:r>, </m:r><m:r>y</m:r></m:omath> верно равенство <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>x</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>(1-</m:r><m:r>y</m:r><m:r>)</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>(</m:r><m:r>x</m:r><m:r>-</m:r><m:r>y</m:r><m:r>)</m:r></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>=</m:r><m:f><m:fpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:fpr><m:num><m:r>1</m:r></m:num><m:den><m:r>3</m:r></m:den></m:f></m:omath>?
3. Дробь <m:omath><m:f><m:fpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:fpr><m:num><m:r>100!</m:r></m:num><m:den><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:r>12</m:r></m:e><m:sup><m:r>50</m:r></m:sup></m:ssup></m:den></m:f></m:omath> сократили, и получили несократимую дробь <m:omath><m:f><m:fpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:fpr><m:num><m:r>m</m:r></m:num><m:den><m:r>n</m:r></m:den></m:f></m:omath>. Найдите <m:omath><m:r>n</m:r></m:omath>.
4. Внутри параллелограмма <m:omath><m:r>ABCD</m:r></m:omath> выбрана точка <m:omath><m:r>E</m:r></m:omath> так, что <m:omath><m:r>AE</m:r><m:r>=</m:r><m:r>DE</m:r></m:omath> и <m:omath><m:r>∠</m:r><m:r>ABE</m:r><m:r>=90°</m:r></m:omath>. Точка <m:omath><m:r>M</m:r></m:omath> – середина отрезка <m:omath><m:r>BC</m:r></m:omath>. Найдите угол <m:omath><m:r>DME</m:r></m:omath>.
5. В буфете продавались пирожки по цене 50 копеек, бублики по цене 60 копеек, булки по цене 70 копеек, слойки по цене 80 копеек и пирожные по цене 1 рубль. Группа ребят купила ровно на 10 рублей 14 изделий разных сортов. Сумма различных цен купленных изделий 2 рубля 10 копеек. Сколько каких изделий куплено, если известно, что никаких изделий не было куплено больше 7 и никаких изделий не было куплено поровну? (Цена – количество денег за единицу товара).

1. Делитель натурального числа называется собственным, если он больше 1 и меньше самого числа. Натуральное число назовем элегантным, если оно имеет не менее двух собственных делителей и делится на разность любых из них. Найдите все элегантные числа.

2. В треугольнике АВС ∠В = 110°, ∠С = 50°.  На стороне АВ выбрана такая точка Р, что ∠РСВ = 30°, а на стороне АС – такая точка Q, что ∠ABQ = 40°.  Найдите угол QPC.

3. Числа <m:omath><m:r>x</m:r><m:r>,</m:r><m:r>y</m:r><m:r>,</m:r><m:r>z</m:r></m:omath> подобраны так, что выполнены равенства

<m:omath><m:r>x</m:r><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>x</m:r><m:r>-</m:r><m:r>1</m:r></m:e></m:d><m:r>+2</m:r><m:r>yz</m:r><m:r>=</m:r><m:r>y</m:r><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>y</m:r><m:r>-</m:r><m:r>1</m:r></m:e></m:d><m:r>+2</m:r><m:r>xz</m:r><m:r>=</m:r><m:r>z</m:r><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>z</m:r><m:r>-</m:r><m:r>1</m:r></m:e></m:d><m:r>+2</m:r><m:r>xy</m:r></m:omath>.

Какие значения может принимать величина <m:omath><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>x</m:r><m:r>-</m:r><m:r>y</m:r></m:e></m:d></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>y</m:r><m:r>-</m:r><m:r>z</m:r></m:e></m:d></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup><m:r>+</m:r><m:ssup><m:ssuppr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:ssuppr><m:e><m:d><m:dpr><m:ctrlpr></m:ctrlpr></m:dpr><m:e><m:r>z</m:r><m:r>-</m:r><m:r>x</m:r></m:e></m:d></m:e><m:sup><m:r>2</m:r></m:sup></m:ssup></m:omath>?

4. Вова, Толя, Боря и Лёня поехали на выходные к бабушке копать картошку. После работы каждый из них посчитал, сколько он выкопал картошки, и оказалось, что Вова выкопал на 124 кг меньше, чем 1/8 часть от того, что выкопали все остальные; Толя выкопал на 123 кг больше, чем 1/4 от того, что выкопали все остальные; у Бори получилось 248 кг плюс 1/4 от того, что выкопали остальные ребята, и, наконец, у Лёни получилось 191 кг и половина картошки, которую выкопали остальные ребята. Сколько всего картошки выкопали ребята?

5.В клетки таблицы <m:omath><m:r>15×15</m:r></m:omath> вписаны целые числа. Известно, что сумма чисел в любом квадратике

<m:omath><m:r>2×2</m:r></m:omath> нечетная. Какое наименьшее и какое наибольшее количество нечетных чисел может содержаться во всей таблице?

9 класс

1. Найдите наименьше натуральное число, третья степень которого кратна числу 588.
2. Докажите, что

1. Диагональ разделяет трапецию на два треугольника, площади которых относятся как 3 : 7. Найдите отношения площадей четырехугольников, на которые данную трапецию разделяет ее средняя линия.

1. Можно ли, пользуясь только операциями сложения, вычитания и умножения, составить из выражений 3х² + х и  3х выражение, тождественно равное х?

5.Может ли квадратное уравнение с целыми коэффициентами иметь дискриминант, равный 2007?

9 класс

1. Числа a,b,с,d различны, причем а и b удовлетворяют уравнению

х²-2сх-5d=0, а с и d удовлетворяют уравнению х²-2ах-5b=0. Найдите а+b+с+d.

1. В окружности проведены две хорды АВ и CD которые перпендикулярны и пересекаются в точке К. Пусть прямая, содержащая медиану КМ треугольника ВКD, пересекает АС в точке Н. Докажите, что КН- высота треугольника АКС и найдите ее длину, если АС=4, p СDВ=30º
2. Решите неравенство:    |х²+5х+6 | – |х-2| > |х²+3х-4|
3. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, разбивает его на треугольники с периметрами Р₁ и Р₂. Вычислите периметр данного треугольника.
4. Шахматный король, начав с некоторого поля шахматной доски, обошел все остальные ее поля, побывав на каждом из них ровно по одному разу. Когда соединили центры полей, которые он последовательно проходил, получилась ломаная без самопересечений. Какую наибольшую длину она может иметь, если сторона клетки шахматной доски равна 1? (Король ходит по обычным правилам)

9 класс

1. Все пятизначные числа, составленные из цифр от 1 до 5 без повторений, занумерованы в порядке возрастания. Какой номер имеет число 43521?
2. Длины сторон треугольника образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности равен трети одной из высот треугольника.
3. Докажите, что если  то
4. Найти наименьшее значение функции

1. При каких п можно расставить целые числа от 1 до п по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел делилась нацело на число, следующее за ним по часовой стрелке?

9 класс

1. Докажите, что графики всех квадратных функций у = х² + рх + q, для которых q = , проходят через одну точку.
2. Отрезки АК и ВМ – медианы треугольника АВС. Докажите, что если

Ð САК = Ð СВМ = 30⁰, то треугольник АВС – равносторонний.

1. Все пятизначные числа, составленные из цифр от 1 до 5 без повторений, занумерованы в порядке возрастания. Какой номер имеет число 43521?
2. Доказать, что четыре расстояния от точки окружности до вершин вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.
3. Докажите, что если  - целое, то  - тоже целое ().

9 класс

1. Можно ли из кубиков размером 1´1´1 склеить фигуру, площадь поверхности которой равна 2009? (При склеивании кубики соединяются так, что их соответственные грани полностью совпадают).
2. В треугольнике АВС через АА₁, ВВ₁, СС₁ обозначены высоты, а через АА₂, ВВ₂, СС₂ — медианы. Доказать, что длина ломаной

 А₂В₁С₂А₁В₂С₁ А₂ равна периметру ∆ АВС.

1. Найти все тройки действительных чисел x, y, z, которые удовлетворяют равенствам  x + yz = y + zx = z + xy = 6.
2. Даны четыре точки, никакие три из них не лежат на одной прямой. Построить квадрат, каждая сторона которого (или прямая, содержащая сторону), проходит через одну из заданных точек.
3. Существуют ли значения n ≠ 1 такие, что величина

является целым числом, если х₁, х₂, х₃ – первые n натуральных чисел?

9 класс

1. Дана окружность и различные точки  B, C, D на ней. Касательная к окружности, проведенная через точку D, пересекает луч СВ в точке А. На продолжении отрезка BD за точку D взята произвольная точка E. Окружность, описанная вокруг треугольника CDE, пересекает прямую AD в точке K, отличной от D, а прямую АС – в точке F, отличной от точки С. Докажите, что прямые KF и BD параллельны.
2. Доказать, что уравнение  имеет единственное решение на множестве действительных чисел и найти это решение.

1. Имеются 9 палочек, длины которых различны и принимают целые значения от 1 до 9 см. Квадраты с какими сторонами и сколькими способами можно составить из этих палочек? (Не обязательно использовать все палочки; способы составления одного квадрата считаются разными, если используются разные палочки).

1. В компьютер попал вирус. Действие вируса заключается в следующем. На жестком диске он создает m папок (m > 1). Далее, случайным образом выбирает несколько из них (количество выбранных папок каждый раз может меняться) и создает в каждой из выбранных папок еще по m папок. Остальные папки остаются пустыми. С вновь созданными папками вирус поступает аналогично. Данная процедура повторилась несколько раз, пока вирус не был заблокирован антивирусом. В результате действия вируса на диске было создано 2010 пустых папок и n непустых папок. Найдите значения m и n, если известно, что n + 1 является квадратом простого числа.

1. На кубе отметили красным цветом вершины и центры граней, а также провели диагонали граней (также красным цветом). Можно ли по отрезкам красного цвета обойти все отмеченные точки, побывав в каждой из них по одному разу?

9 класс

1. Пусть  - произвольные положительные действительные числа . Доказать, что выполняется неравенство:

                   .

2. Дана таблица размером <m:omath><m:r>2010×2008</m:r></m:omath> клеток. Можно ли в этой таблице расставить целые числа так, чтобы сумма всех чисел была нечетной, а в любом прямоугольнике размером  клетки сумма чисел была четной? Все клетки таблицы должны быть заполнены.

3. Найти все тройки натуральных чисел к, m, n (), для которых верно равенство:

                            .

4. На доске нарисовано 27 отрезков длиной 1 дм, 28 отрезков длиной 2 дм и 29 отрезков длиной 3 дм. Петя и Толя играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход разрешается стереть любые два отрезка, а вместо них нарисовать отрезок, равный по длине гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого равны по длине стертым отрезкам. Играют до тех пор, пока на доске не останется один отрезок. Считается, что выиграл Толя, если длина последнего оставшегося на доске отрезка составит целое число дециметров. В противном случае выигрывает Петя. Кто из ребят выиграет при правильной игре, если первым ходит: а) Петя; б) Толя?

5. В треугольник АВС с углом А, равным 60º, вписана окружность, которая касается сторон АВ и АС в точках В₀ и С₀ соответственно. В треугольник АВ₀С₀ вписана окружность, которая касается сторон АВ₀ и АС₀ в точках В₁ и С₁ соответственно. В треугольник АВ₁С₁ также вписана окружность. Найти радиус этой окружности, если радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен r.

9 класс

1. Картофельное поле имеет форму прямоугольника и размеры 10×67 м. По полю ползают 2011 колорадских жуков так, что никакие три из них никогда не оказываются на одной прямой. Доказать, что в любой момент времени найдутся 4 таких жука, что площадь четырехугольника с вершинами в точках, где находятся эти жуки, не превысит <st1:metricconverter productid="1 м2" w:st="on">1 м²</st1:metricconverter>? Считать, что жуки ползают только по поверхности поля.

2. Три окружности с центрами О₁, О₂, О₃ попарно касаются друг друга. В треугольник О₁О₂О₃ вписана окружность w. К окружности w проведены три касательные. Первая касательная проходит параллельно отрезку О₂О₃ и пересекает отрезки О₁О₂ и О₁О₃ в точках А₁ и В₁ соответственно. Вторая касательная проходит параллельно отрезку О₁О₃ и пересекает отрезки О₁О₂ и О₂О₃ в точках А₂ и В₂ соответственно. Третья касательная проходит параллельно отрезку О₁О₂ и пересекает отрезки О₁О₃ и О₂О₃ в точках А₃ и В₃ соответственно. Найти радиусы окружностей, если периметры треугольников А₁О₁В₁, А₂О₂В₂, А₃О₃В₃ равны 12, 14, 16 соответственно.

3. Дана функция f(х), определенная на всей числовой прямой, кроме нуля, такая, что для любого х из области определения выполняется равенство:

   .         Чему равно ?

4. Словами РЕСПУБЛИКА и БЕЛАРУСЬ зашифрованы некоторые два натуральных числа, при этом каждая буква обозначает некоторую цифру. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а любые две разные буквы, среди которых нет мягкого знака, обозначают разные цифры. Какую цифру может обозначать мягкий знак, если сумма цифр числа БЕЛАРУСЬ равна 26, а число ПИК кратно 11?

5. Найти наименьшее значение функции: ,

где a и b – острые углы, такие, что .

9 класс

1. Определите все значения параметра а, при которых система, состоящая из двух уравнений х²+у+5=4х;  ху+2у²=0  имеет только одно решение, удовлетворяющее условию: х²+у²#а^2.
2. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, разбивает его на треугольники с периметрами Р₁ и Р₂. Вычислите периметр данного треугольника.
3. Решите в натуральных числах уравнение 7·2^х+1=у².
4. Доказать, что для произвольного треугольника выполняется неравенство  R+2r4, где R-радиус описанной окружности,     r- радиус вписанной окружности.
5. Шахматный король, начав с некоторого поля шахматной доски, обошел все остальные ее поля, побывав на каждом из них ровно по одному разу. Когда соединили центры полей, которые он последовательно проходил, получилась ломаная без самопересечений. Какую наибольшую длину она может иметь, если сторона клетки шахматной доски равна 1? (Король ходит по обычным правилам)

8 класс

1. Найдите все тройки целых чисел (а, Ь, с), таких, что

а²Ь + Ь²с + с²а = 23,     ab² + bс² + cа² = 25.

2.  В 8"А"и 8"Б"классах некоторой школы вместе учится 50 школьников, более 10 школь­ников в каждом классе. Подводя итоги учебы за год, директор школы заметил, что средне­годовая оценка по математике у каждого ученика 8"А"одна и та же, причем весьма высокая, В 8"Б"классе также среднегодовая оценка по математике одна та же у всех учащихся этого класса, но заметно ниже, чем в 8"А"классе. Однако, после некоторых вычислений директор обнаружил, что можно перевести несколько школьников из 8"А"класса в 8"Б"класс и столь­ко же школьников из 8"Б"класса в 8"А"класс так, что среднегодовые оценки по математике в этих классах выровняются: средняя оценка учащихся 8"А"класса станет равна средней оценке учащихся 8"Б"класса. (Среднегодовая оценка одного или нескольких школьников определяет­ся как сумма всех их оценок за год, деленная на количество этих оценок, т. е. не обязательно является целой.)

Определите, сколько школьников из одного класса нужно перевести в другой класс, чтобы среднегодовые оценки по математике в этих классах выровнялись.

3.  Внутри треугольника ABC отмечена точка М, расстояния от которой до сторон АВ и ВС равны соответственно 3 и 1.

Найдите расстояние между точками М и С, если АВ = 13, АС = 12, ВС = 5.

4.   Внутри   треугольника    ABC    взята   точка    О    и   соединена   отрезками    с   его вершинами. Около каждого из отрезков АВ, ВС, АС, О А, ОВ, ОС записали по числу. Оказалось, что для каждой точки А, В, С и О сумма чисел, которые записаны на отрезках, выходящих из этой точки, одна и та же для любой из этих точек. Известно, что около каких-то трёх отрезков записаны числа 1, 2 и 3. Найдите числа, которые записаны около остальных трёх отрезков.

9 класс

1. Три действительных числа a, b и с удовлетворяют условиям

а³ + b³ + с³ + 5abc = 2,     (а + b + c)(ab + bc + сa) = 2.

Докажите, что одно из этих чисел равно сумме двух других.

2. Положительные попарно различные действительные числа а, b, с тако­вы, что квадратные уравнения     аx² + bx + с = 0   и      (b + 3а)х²+ (с — b)х + а — с = О    имеют по два различных корня, причём сумма всех четырёх корней этих урав­нений равна их произведению.

Найдите меньший корень второго из этих уравнений.

3.  ВМ,  СК,  CN   - медианы треугольников ABC,  CBM,  СКМ соот­ветственно. Р и Q -- точки пересечения стороны АВ с прямыми CN и СК соответственно.

Найдите отношения АР : PQ и AQ : QB.

4.  На рёбрах куба нужно расставить двенадцать чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 и некоторое действительное число г (по одному числу на каждом ребре, и все эти числа должны быть расставлены), так, чтобы сумма чисел, ко­торые стоят на рёбрах, выходящих из любой вершины куба, была одна и та же для каждой вершины.

При каком наибольшем г это можно сделать?

8 класс

5.  Найдите все пары целых неотрицательных чисел а и b, для которых выполняется равенство 2^a — 6^b = 2012.

6.  В остроугольном треугольнике ABC точка М •- середина стороны ВС, а точки N и H --основания высот, проведенных к сторонам АВ и АС соответственно. Известно, что <NMH =<ABC и АС = <st1:metricconverter productid="8 см" w:st="on">8 см</st1:metricconverter>.

Найдите длину отрезка NH.

7. Можно ли натуральные числа от 1 до 99 расставить по кругу так, чтобы

а)  сумма любых двух соседних чисел равнялась простому числу;

б)  модуль разности любых двух соседних чисел равнялся простому числу ? (Имейте в виду, что число 1 не является простым.)

8. На шашечной доске 10 х 10 расставлены 15 черных и 15 белых шашек так

как показано на рисунке. За один ход можно передвинуть две шашки одного цвета на незанятые соседние по диагонали клетки (в любом направлении, т. е. разрешается ходить и назад). Бить шашки нельзя.

Можно ли с помощью таких ходов поменять местами все белые шашки со всеми черными ?

9 класс

5. Из девяти цифр 1, 2,..., 9 составили несколько чисел так, что каждая цифра была использована ровно один раз и ровно у одного числа. Пусть S — сумма составленных чисел.

Какое наименьшее значение может принимать  |S — 2012| ?

6.  В остроугольном треугольнике ABC точка М -- середина стороны ВС, а точки N и H - основания высот, проведенных к сторонам АВ и АС соот­ветственно. Известно, что <NMH = <AHN и NH = <st1:metricconverter productid="4,5 см" w:st="on">4,5 см</st1:metricconverter>.

Найдите длину стороны АС.

7. Можно ли натуральные числа от 1 до 100 расставить по кругу так, чтобы

а)  сумма любых двух соседних чисел равнялась простому числу;

б)  модуль разности любых двух соседних чисел равнялся простому числу ? (Имейте в виду, что число 1 не является простым.)

8.   На  доске   7x8   расставлены   9   черных   и   9   белых   фишек  так

как показано на рисунке. За один ход можно передвинуть (в любом направлении) две фишки одного цвета на незаня­тые соседние по стороне клетки.

Можно ли с помошыо таких ходов поменять местами все белые фишки со всеми черными ?